Question

a是不為1的有理數，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數．如：2的差倒數是

1

1-2

=-1，現已知a1=

1

2

，a₂是a₁的差倒數，a₃是a₂的差倒數，a₄是a₃的差倒數，…
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根據（1）的計算結果，請猜想并寫出a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值．
（3）計算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）根據差倒數的定義可計算出a₂=

1

1- 1 2

=2，a₃=

1

1-2

=-1，a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）根據（1）計算結果得到從a₁開始，每三個數一循環，而2010=3×670，則a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，然后計算a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂的值；
（3）由于a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=-1，把a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂分成（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂，然后代值計算即可．

解答：解：（1）a₁=

1

2

，
a₂=

1

1- 1 2

=2，
a₃=

1

1-2

=-1，
a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；

（2）∵2010=3×670，
∴a₂₀₁₀=a₃=-1，a₂₀₁₁=a₁=

1

2

，a₂₀₁₂=a₂=2，
∴a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=-1×

1

2

×2=-1；

（3）∵a₁•a₂•a₃=a₄•a₅•a₆=…a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₁₀•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂．=（a₁•a₂•a₃）•（a₄•a₅•a₆）…（a₂₀₀₈•a₂₀₀₉•a₂₀₁₀）•a₂₀₁₁•a₂₀₁₂=（-1）⁶⁷⁰•

1

2

•2=-1．

點評：本題考查了規律型：數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．