Question

如圖，已知△ABC．
（1）請你在BC邊上分別取兩點D，E（BC的中點除外），連接AD，AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；
（2）請你根據使（1）成立的相應條件，證明AB+AC＞AD+AE．

Answer 1

（1）解：如圖1，相應的條件就應該是BD=CE≠DE，
這樣，△ABD和△AEC的面積相等，由于BD=CE，因此BE=CD，
那么△ADC和△ABE的面積就相等．

（2）證明：如圖2，分別過點D、B作CA、EA的平行線，兩線相交于F點，DF與AB交于G點．
∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD
在△AEC和△FBD中，又CE=BD，
∴△AEC≌△FBD，
∴AC=FD，AE=FB，
在△AGD中，AG+DG＞AD，
在△BFG中，BG+FG＞FB，
即AB+FD＞AD+FB
∴AB+AC＞AD+AE．
分析：（1）由于都是以BC所在邊為底，因此邊上的高都相等．要兩個三角形的面積相等，只需在BC上找出兩條相等線段即可；
（2）可通過構建全等三角形來求解．
分別過點D、B作CA、EA的平行線，兩線相交于F點，DF于AB交于G點．
那么我們不難得出△AEC≌△FBD，此時AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它們的關系即可．
點評：本題考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關系．
本題（2）中通過構建全等三角形將已知和所求條件轉化到相關的三角形中是解題的關鍵．