Question

如圖，一次函數y=kx+b圖象與反比例函數y=

t

x

的圖象在第一象限內交于A（1，2）、B兩點，與x軸交于N點，且OA⊥AB．
（1）求反比例函數解析式．
（2）求N點坐標，并求一次函數解析式．
（3）過點B作BP⊥AB交x軸于P，求S_△BPN．

Answer 1

分析：（1）待定系數法把A點坐標代入反比例函數解析式計算即可得出答案；
（2）利用過A作AM⊥x軸，垂足為M，利用射影定理可以算出N點坐標，再利用待定系數法求出一次函數解析式，然后聯立兩個函數解析式即可算出B點坐標；
（3）根據題意可以得到△NAO∽△NBP，再根據三角形的面積比等于三角形高的相似比的平方可以計算出答案．

解答：解：（1）∵反比例函數y=

t

x

的圖象在第一象限內交于A（1，2），
∴t=xy=1×2=2，
∴反比例函數解析式為y=

2

x

；

（2）過A作AM⊥x軸，垂足為M，
∵A（1，2），由射影定理可得AM²=AM•NM，
∴2²=1×NM，
NM=4，
∴N（5，0），
∵一次函數y=kx+b圖象經過A（1，2）、B（5，0），
∴

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴一次函數y=-

1

2

x+

5

2

，
把反比例函數解析式與一次函數解析式聯立

y= 2 x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得

x=1 y=2

，

x=4 y= 1 2

，
∴B（4，

1

2

）；

（3）過B作BH⊥x軸，
∵B（4，

1

2

），
∴BH=

1

2

，
∵OA⊥AB，BP⊥AB，
∴∠OAB=∠PBN=90°，
∴AO∥PB，
∴△NAO∽△NBP，
∴

S△BPN

S△NAO

=

BH2

AM2

=

1

16

，
∵S_△AON=

1

2

×ON×AM=

1

2

×5×2=5，
∴S_△PBN=

5

16

．

點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用，關鍵是利用射影定理計算出N點坐標，掌握三角形的面積比等于三角形高的相似比的平方．