Question

已知直線y=kx-6（k＞0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．
（1）填空：點P的坐標為（______，______）；
（2）當k=1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動，如圖①．作BF⊥PC于點F，若以B、F、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值．
（3）當k=時，設以C為頂點的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D（如圖②），設△COD的OC邊上的高為h，問：是否存在某個時刻t，使得h有最大值？若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，動點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，則OP=t，即：P（t，0）

（2）當k=1時，直線AN的解析式為：y=x-6，令y=0，則x=6，則AO=6
由題意得：PF∥OB，BF∥OP，∠AOB=90°，∴四邊形BFPO是矩形，
∴BF=OP=t，∴AQ=OP=t，PQ=6-2t
若四邊形BFQP是平行四邊形，如圖1，則BF=PQ，t=6-2t，解得：t=2，符合題意；
若四邊形BFPQ是平行四邊形，如圖2，則BF=PQ，t=2t-6，即點P與點A重合時，此時四邊形BFPQ是矩形，故t=6符合題意．

（3）由題意得：C（t，t-6），以C為頂點的拋物線解析式是y=（x-t）²+t-6；
當k=時，直線AB解析式為：y=x-6，同理可得：A（8，0），B（0，-6）．
由（x-t）²+t-6=x-6，得解：x₁=t，x₂=t+
如圖3，過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°．
∵PC∥OB，∴∠OBA=∠ECD，
∴△DEC∽△AOB
∴=
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===10．
∵AO=8，AB=10，DE=（t+）-t=，
∴CD===．
∴CD邊上的高==，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA．
又∵CP⊥OA，即∠OPC=90°，
∴∠OPC=∠AOB=90°
∴Rt△OPC∽Rt△BOA
∴=，即OP===
∴當t=時，h的值最大．
分析：（1）根據P點的運動速度和運動時間可得到OP的長，則P點坐標可求．
（2）從圖中可以看出，已知的條件有PQ∥BF，只需令PQ=BF就能得到以B、F、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形的結論，在求PQ的表達式時要注意P、Q的位置．
（3）首先要求出A、B、C、D四點的坐標，過D作PC的垂線交PC于E，根據D點坐標和拋物線對稱軸方程，可確定E點坐標及DE的長，根據構建的相似三角形△CED、△BOA求出CD的長，此時能發現CD長為定值，而△OCD中CD邊上的高也是定值（可在△OAB中利用面積公式求得），所以OC邊越短、OC邊上的高h就越大，因此當h最大時，OC應垂直CD，即OC是CD邊的高，根據前面求得的OC長，結合相似三角形△OPC、△BOA求出OP的長，即可求得t的值．
點評：該題是圖形中的動點問題，考查了二次函數、相似三角形、圖形面積的求法、特殊四邊形的判定和性質等重要知識；（3）的難度較大，能否找出h最大時OC的位置和大小是解答題目的關鍵所在．