Question

【題目】如圖，過、作x軸的垂線，分別交直線于C、D兩點拋物線經過O、C、D三點．

求拋物線的表達式；

點M為直線OD上的一個動點，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，問是否存在這樣的點M，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由；

若沿CD方向平移點C在線段CD上，且不與點D重合，在平移的過程中與重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）由題意，可知MN∥AC，因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．設點M的橫坐標為x，則求出MN=|x2﹣4x|；解方程|x2﹣4x|=3，求出x的值，即點M橫坐標的值；

（3）設水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），利用平移性質求出S的表達式：S（t﹣1）2；當t=1時，s有最大值為．

（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵拋物線過原點，∴設拋物線的解析式為：y=ax2+bx，∴，解得，∴拋物線的表達式為：yx2x．

（2）存在．

設直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，求得k，∴直線OD解析式為yx．

設點M的橫坐標為x，則M（x，x），N（x，x2x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（x2x）|=|x2﹣4x|．

由題意，可知MN∥AC，因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3，∴|x2﹣4x|=3．

若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x或x；

若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x，∴存在滿足條件的點M，點M的橫坐標為：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1），∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為yx．

如解答圖所示，設平移中的三角形為△A'O'C'，點C'在線段CD上．

設O'C'與x軸交于點E，與直線OD交于點P；

設A'C'與x軸交于點F，與直線OD交于點Q．

設水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），則圖中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，t），C'（1+t，3﹣t）．

設直線O'C'的解析式為y=3x+b，將C'（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直線O'C'的解析式為y=3x﹣4t，∴E（t，0）．

聯立y=3x﹣4t與yx，解得：xt，∴P（t，t）．

過點P作PG⊥x軸于點G，則PGt，∴S=S△OFQ﹣S△OEPOFFQOEPG

（1+t）（t）tt

（t﹣1）2

當t=1時，S有最大值為，∴S的最大值為．