Question

【題目】如圖，點A在y軸上，點B在x軸上，且OA=OB=1，經過原點O的直線交線段AB于點C，過C作OC的垂線，與直線x=1相交于點P，現將直線繞O點旋轉，使交點C從A向B運動，但C點必須在第一象限內，并記AC的長為t，分析此圖后，對下列問題作出探究：

（1）當△AOC和△BCP全等時，求出t的值。

（2）通過動手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關系？并證明你得到的結論。

（3）①設點P的坐標為（1,b）,試寫出b關于t的函數關系式和變量t的取值范圍。②求出當△PBC為等腰三角形時點P的坐標。

Answer 1

【答案】(1) t= ；(2)見解析；(3) P（1.1）, P（1，1－）

【解析】分析：

（1）由已知條件易得OA=OB=1，AB=，由△AOC和△BCP全等可得BC=OA=1，從而可得t=AC=AB-BC=；

（2）過點C作x軸的平行線交OA于點M，交PB于點N，由題意易得OM=BN=CN，∠OMC=∠CNP=90°，∠COM=∠PCN，由此可得△OMC≌△CNP，從而可得OC=PC；

（3）①由△OMC≌△CNP，可得PN=MC=AM，結合AM=sin45°AC=，由此可得BN=OM=1-AM=，從而可得PB=b=BN-PN=，即b=，由點C在第一象限可得t的取值范圍是：；②根據點C只能在第一象限，結合題意分PC=PB和PB=BC兩種情況討論計算即可.

詳解：

（1）∵OA=OB=1，∠AOB=90°，

∴AB=，

∵△AOC和△BCP全等，

∴BC=OA=1，

∴AC=AB-BC=，即；

（2）過點C作x軸的平行線交OA于點M，交PB于點N，

∴∠CMO=∠OCP=∠CNB=90°，

∴四邊形OBNM是矩形，∠MOC+∠MCO=90°，∠MCO+∠NCP=90°，

∴BN=OM，∠MOC=∠NCP，

∵OA=OB=1,

∴∠BAO=∠ABO=∠ABN=45°，

∴△BCN是等腰直角三角形，

∴OM=BN=CN，

∴△MOC≌△NCP，

∴OC=PC；

（3）① ∵OA=OB=1,∠AOB=90°，

∴∠BAO=∠ABO=45°，

又∵∠AMC=90°，

∴AM=MC=AC·sin45°=，

∴OM=OA-AM=，

∵由（2）可知：BN=OM，

∴NB=,

∵△AOC和△BCP全等，

∴PN=CM=AM=，

∴PB=BN-PN=，即b=，

∵點C在第一象限，

∴；

②當t=0時，△PBC是等腰直角三角形，當此時點C與點A重合，不在第一象限，不符合題中要求，故此種情況不成立；

當PB=BC時，由（2）可知，解得t=1或t=-1（舍去），

∴當t=1時，△PBC是等腰三角形，此時點P的坐標為；

綜上所述，當△PBC為等腰三角形時，點P的坐標為.