Question

【題目】四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線與邊BC交于點E，∠ADC的角平分線交直線AE于點O．
（1）若點O在四邊形ABCD的內部，
如圖1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，則∠DOE=°；

（2）如圖2，試探索∠B、∠C、∠DOE之間的數量關系，并將你的探索過程寫下來．

（3）如圖3，若點O在四邊形ABCD的外部，請你直接寫出∠B、∠C、∠DOE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）125
（2）

解：（1）∠B+∠C+2∠DOE=360°，

理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，

∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，

∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，

∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，

∴∠B+∠C+2∠DOE=360°

（3）

解：∠B+∠C=2∠DOE，

理由：∵∠BAD+∠ADC=360°﹣∠B﹣∠C，∠EAD+∠ADO=180°﹣∠DOE，

∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，

∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，

∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），

∴360°﹣∠B﹣∠C=2（180°﹣∠DOE），

∴∠B+∠C=2∠DOE

【解析】解：（1）∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，
∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，
∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，
∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，
∴∠AEC=110°，
∴∠DOE=360°﹣110°﹣70°﹣55°=125°；
所以答案是：125；
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的性質(兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補)，還要掌握多邊形內角與外角(多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°)的相關知識才是答題的關鍵．