Question

如圖，長方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，現有一動點P從A出發以
2cm/秒的速度，沿矩形的邊A-B-C-D回到點A，設點P運動的時間為t秒．
（1）當t=3秒時，求△ABP的面積；
（2）當t為何值時，點P與點A的距離為5cm？
（3）當t為何值時（2＜t＜5），以線段AD、CP、AP的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且AP是斜邊．

Answer 1

解：（1）
當t=3時，點P的路程為2×3=6cm，
∵AB=4cm，BC=6cm
∴點P在BC上，
∴（cm²）．

（2）
（Ⅰ）若點P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t-4=3，
∴；
（Ⅱ）若點P在DC上，
則在Rt△ADP中，AP是斜邊，
∵AD=6，
∴AP＞6，
∴AP≠5；
（Ⅲ）若點P在AD上，
AP=5，
則點P的路程為20-5=15，
∴，
綜上，當秒或時，AP=5cm．

（3）當2＜t＜5時，點P在BC邊上，
∵BP=2t-4，CP=10-2t，
∴AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²
由題意，有AD²+CP²=AP²
∴6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²
∴，
即t=．
分析：（1）求出P運動的距離，得出O在BC上，根據三角形面積公式求出即可；
（2）分為三種情況：P在BC上，P在DC上，P在AD上，根據勾股定理得出關于t的方程，求出即可；
（3）求出BP=2t-4，CP=10-2t，根據AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²和AD²+CP²=AP²得出方程6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²，求出方程的解即可．
點評：本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，矩形性質的應用，注意要進行分類討論．