Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點E，F．

（1）求證：△AEB～△CFB；

（2）若AE＝2EC，BC＝6．求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）12

【解析】

（1）利用同角的余角相等可得出∠A＝∠BCF，由角平分線的定義可得出∠ABE＝∠CBF，進而可證出△AEB～△CFB；

（2）過點E作EM⊥AB于點M，由AE＝2EC可得出S△ABE＝2S△CBE，結合三角形的面積公式及角平分線的性質可得出AB＝2BC，再代入BC＝6即可得出結論．

（1）證明：CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠A+∠ACD＝90°．

∵∠ACD+∠BCF＝90°，

∴∠A＝∠BCF．

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBF，

∴△AEB∽△CFB．

（2）解：過點E作EM⊥AB于點M，如圖所示．

∵AE＝2EC，

∴S△ABE＝2S△CBE，即ABEM＝2×BCCE．

∵BE平分∠ABC，

∴EM＝CE，

∴AB＝2BC＝12．