Question

已知拋物線y=ax²+bx+2與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個實數根，點C為拋物線與y軸的交點。

（1）求a，b的值；
（2）分別求出直線AC和BC的解析式；
（3）若動直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別相交于D，E兩點，則在x軸上是否存在點P，使得△DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）， 把A，B兩點的坐標分別代入y=ax2+bx+2聯立求解，得； （2）由（1）可得， ∵當x=0時，y=2， ∴C（0，2）， 設AC：y=kx+b，把A，C兩點坐標分別代入y=kx+b， 聯立求得k=2，b=2， ∴直線AC的解析式為y=2x+2； 同理可求得直線BC的解析式是； （3）假設存在滿足條件的點P， 并設直線y=m與y軸的交點為F（0，m）， ①當DE為腰時，分別過點D，E作DP1⊥x軸于P1，作EP2⊥x軸于P2， 如圖，則△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形， DE=DP1=FO=EP2=m，AB=x2-x1=4， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴，即， 解得m=， ∴點D的縱坐標是， ∵點D在直線AC上， ∴2x+2=，解得x=-， ∴， ∴，同理可求P2（1，0）； ②當DE為底邊時，過DE的中點G作GP3⊥x軸于點P3，如圖， 則DG=EG=GP3=m， 由△CDE∽△CAB， 得，即， 解得m=1， 同1方法，求得， ∴DG=EG=GP3=1， ∴OP3=FG=FE-EG=， ∴P3（，0）， 結合圖形可知，P3D2=P3E2=2，ED2=4， ∴， ∴△DEP3是Rt△， ∴也滿足條件。 綜上所述，滿足條件的點P共有3個，即。