Question

如下圖，四邊形ABCD是正方形，點E，K分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG。
（1）求證：①DE=DG； ②DE⊥DG；
（2）尺規作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（3）連接（2）中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想；
（4）當時，請直接寫出的值。

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°，
又∵CE=AG，
∴△DCE≌△GDA，
∴DE=DG，∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE+∠GDA=90°
∴DE⊥DG；
（2）如圖：
；
（3）四邊形CEFK為平行四邊形。
證明：設CK、DE相交于M點
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG，
∵BK=AG，
∴KG=AB=CD，
∴四邊形CKGD是平行四邊形，
∴CK=DG=EF，CK∥DG，
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°，
∴∠KME+∠DEF=180°，
∴CK∥EF，
∴四邊形CEFK為平行四邊形；
（4）∵，
∴設CE=x，CB=nx，
∴CD=nx，
∴DE²=CE²+CD²=n²x²+x²=（n²+1）x²，
∵BC²=n²x²，
∴==。