Question

【題目】有一列按一定順序和規律排列的數：

第一個數是；

第二個數是；

第三個數是；

…

對任何正整數n，第n個數與第（n+1）個數的和等于．

（1）經過探究，我們發現：

設這列數的第5個數為a，那么，，，哪個正確？

請你直接寫出正確的結論；

（2）請你觀察第1個數、第2個數、第3個數，猜想這列數的第n個數（即用正整數n表示第n數），并且證明你的猜想滿足“第n個數與第（n+1）個數的和等于”；

（3）設M表示，，，…，，這2016個數的和，即，

求證：．

Answer 1

【答案】（1）第5個；（2）；證明過程見解析；（3）證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）由已知規律可得；（2）先根據已知規律寫出第n、n+1個數，再根據分式的運算化簡可得；

（3）將每個分式根據﹣=＜＜=﹣，展開后再全部相加可得結論．

試題解析：（1）由題意知第5個數a==；

（2）∵第n個數為，第（n+1）個數為，

∴+=（+）=×=×=，

即第n個數與第（n+1）個數的和等于；

（3）∵1﹣=＜=1，

=＜＜=1﹣，

﹣=＜＜=﹣，

…

﹣=＜＜=﹣，

﹣=＜＜=﹣，

∴1﹣＜+++…++＜2﹣，

即＜+++…++＜，

∴．