Question

【題目】如圖（1），在中，，，為邊上任意一點，為邊一動點，分別以為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接.

（1）試探索與的位置關系，并證明；

（2）如圖（2）當為延長線上任意一點時，（1）中的結論是否成立？請說明理由；

（3）如圖（3）在中，，，為延長線上一點，為邊一動點，分別以為邊作等腰三角形和等腰三角形，使得，連接.要使（1）中的結論依然成立，還需要添加怎樣的條件？為什么？

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）成立，，見解析；（3）要使（1）中的結論依然成立，還需要添加的條件是，見解析.

【解析】

（1）通過等邊三角形的性質（三條邊相等、三個角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據全等三角形的性質（對應角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（同位角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；
（2）通過等邊三角形的性質（三條邊相等、三個角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根據全等三角形的判定定理SAS證明△PFE≌△PCQ，再根據全等三角形的性質（對應角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下來由平行線的判定定理（內錯角相等，兩直線平行）知PF∥AB；最后由平行線的性質（兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線）知EF⊥AB；
（3）需要添加的條件需滿足：（內錯角相等，兩直線平行）．

（1），證明如下：

∵和都是等邊三角形，

∴，

∴，

∴

在和中

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴

（2）成立，，理由如下：

∵和都是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

在和中

∴

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）要使（1）中的結論依然成立，還需要添加的條件是，理由如下：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴.