Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為－8.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E.

①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數關系式，并求出l的最大值；

②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG.隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）①

②滿足題意的點P有三個，分別是

【解析】

（1）利用直線解析式求出點A、B的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答；

（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據三角形的周長公式列式整理即可得解，再根據二次函數的最值問題解答；

②分（i）點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，根據正方形的性質可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角邊”證明△APH和△GAO全等，根據全等三角形對應邊相等可得PH=AO=2，然后利用二次函數解析式求解即可；（ii）點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據正方形的性質可得AP=FP，∠APF=90°，再根據同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角邊角”證明△APM和△FPN全等，根據全等三角形對應邊相等可得PM=PN，從而得到點P的橫坐標與縱坐標相等，再根據二次函數的解析式求解即可．

解：（1）令，則，解得，當時，，∴點A（2，0），B（﹣8，），把點A、B代入拋物線得，，解得：，所以，該拋物線的解析式；

（2）①∵點P在拋物線上，點D在直線上，∴PD=，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x軸，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵直線解析式，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周長為l=PD+PD+PD=PD==，即；∵，∴當x=﹣3時，最大值為15；

②∵點A（2，0），∴AO=2，

分（i）點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，∴∠PAH=∠AGO，在△APH和△GAO中，∵∠PAH=∠AGO，∠AHP=∠GOA=90°，AP=AG，∴△APH≌△GAO（AAS），∴PH=AO=2，∴點P的縱坐標為2，∴，整理得，，解得，∴點P（，2）或P（，2）；

（ii）點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，∴∠APM=∠FPN，在△APM和△FPN中，∵∠APM=∠FPN，∠AMP=∠FNP=90°，AP=AF，∴△APM≌△FPN（AAS），∴PM=PN，∴點P的橫坐標與縱坐標相等，∴，整理得，，解得，（舍去），∴點P(，)．

綜上所述，存在點P(，2)或P(，2)或P(，)．