Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c經過點A（1，3），B（0，1）．
（1）求拋物線的表達式及其頂點坐標；
（2）過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點C，
①求△ABC的面積；
②在y軸上取一點P，使△ABP與△ABC相似，求滿足條件的所有P點坐標．

Answer 1

分析：（1）將A（1，3），B（0，1），代入y=-

1

2

x2+bx+c，即可得出答案；
（2）①由對稱性得C（4，3），根據三角形面積公式即可求解；
②將直線AC與y軸交點記作D，由

AD

BD

=

BD

CD

=

1

2

，∠CDB為公共角，可得△ABD∽△BCD．從而∠ABD=∠BCD．分1°當∠PAB=∠ABC時，2°當∠PAB=∠BAC時兩種情況討論即可得出答案．

解答：解：（1）將A（1，3），B（0，1），代入y=-

1

2

x2+bx+c，
解得b=

5

2

，c=1．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x+1．
∴頂點坐標為(

5

2

，

33

8

)．

（2）①由對稱性得C（4，3）．
∴S_△ABC=

1

2

|3-1|•|4-1|=3．
②將直線AC與y軸交點記作D，
∵

AD

BD

=

BD

CD

=

1

2

，∠CDB為公共角，
∴△ABD∽△BCD．
∴∠ABD=∠BCD．
1°當∠PAB=∠ABC時，

PB

AC

=

AB

BC

，
∵BC=

(0-4)2+(1-3)2

=2

5

，
AB=

(0-1)2+(1-3)2

=

5

，AC=3
∴PB=

3

2

，
∴P1(0，

5

2

)．
2°當∠PAB=∠BAC時，

PB

BC

=

AB

AC

，
∴

PB

2 5

=

5

3

，
∴PB=

10

3

，
∴P2(0，

13

3

)．
綜上所述滿足條件的P點有(0，

5

2

)，(0，

13

3

)．

點評：本題考查了二次函數綜合題，難度適中，關鍵是掌握分類討論的思想解題．