Question

已知：在正方形ABCD中，M是邊BC的中點（如圖所示），E是邊AB上的一個動點，MF⊥ME，交射線CD于點F，AB=4，BE=x，CF=y．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域．
（2）當點F在邊CD上時，四邊形AEFD的周長是否隨點E的運動而發生變化？請說明理由．
（3）當DF=1時，求點A到直線EF的距離．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EM⊥FM，
∴∠EMF=90°，
∴∠BEM+∠BME=90°，∠BME+∠CMF=90°，
∴∠BEM=∠FMC，
∴△BEM∽△CMF，
∴=，
∵BM=CM=BC=×4=2，BE=e，CF=y，
∴xy=4
x的取值范圍是0＜x≤4；

（2）不變，
理由是：∵根據勾股定理得：EM²=BE²+BM²=x²+2²=x²+4，FM²=y²+4，
∴EF²=EM²+FM²=x²+4+y²+4=x²+y²+8，
∵xy=4，
∴EF²=（x+y）²，
∴EF=x+y，
∴四邊形AEFD的周長是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12．

（3）解：分為兩種情況：①F在線段CD上時，如圖備用圖，
∵DC=AB=AD=4，DF=1，
∴y=4-1=3，x==，EF=x+y=3+=，
過A作AN⊥EF于N，
則S_△AEF=S_梯形AEFD-S_△ADF=（3+4-）×4-×4×1=EF×AN，
∴AN=；
①當F在CD的延長線上時，如圖，
∵DC=AB=AD=4，DF=1，
∴y=4+1=5，x=，EF=x+y=，
過A作AN⊥EF于N，
則S_△AEF=S_{正方形ABCD}+S_△ADF-S_梯形BEFC=4×4+×4×1-×（+5）×4=EF×AN，
∴AN=．
分析：（1）證△BEM∽△CMF，推出=，代入求出xy=4即可；
（2）根據勾股定理求出x+y=EF，代入即可求出答案；
（3）分為兩種情況：①F在線段CD上時，求出y=3，x=，EF=x+y═，過A作AN⊥EF于N，根據面積公式求出即可；
①當F在CD的延長線上時，求出y=5，x=，EF=x+y=，過A作AN⊥EF于N，根據面積公式求出即可．
點評：本題考查了三角形面積、梯形面積、正方形面積，正方形性質，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．