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(2013•靜安區二模)已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,對角線AC、BD相交于點E,BD⊥CD,AB=12,cot∠ADB=
43

求:(1)∠DBC的余弦值;
(2)DE的長.
分析:(1)根據cot∠ADB=
4
3
,可求出AD的長度,在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD,繼而可得出∠DBC的余弦值;
(2)在Rt△BDC中,由(1)的答案可求出BC的長度,再由平行線分線段成比例的知識可求出DE的長.
解答:解:(1)∵Rt△ABD中,cot∠ADB=
AD
AB

4
3
=
AD
12
,
則AD=16,
∴BD=
AB2+AD2
=
122+162
=20,
∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∴cos∠DBC=cos∠ADB=
AD
BD
=
16
20
=
4
5
;
(2)在Rt△BCD中,cos∠DBC=
BD
BC
,
4
5
=
20
BC

解得:BC=25,
∵AD∥BC,
DE
BE
=
AD
BC
=
16
25
,
DE
BD
=
16
41
,
∴DE=
16
41
×BD=
16
41
×20=
320
41
點評:本題考查了梯形、勾股定理及平行線分線段成比例的知識,解答本題的關鍵是熟練掌握解直角三角形的方法,能正確表示角的三角函數.
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1
2
=
2
2
2
2

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