Question

10．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為BD上的一點，連接EA，將EA繞點E逆時針旋轉90°得線段EF，連接FB．
（1）如圖a，點E在OB上，
①求∠FEB+∠BAE的度數；
②求證：ED-EB=$\sqrt{2}$BF；
（2）如圖b，當E在OD上時，按已知條件補全圖形，直接寫出ED、EB、BF三條線段的數量關系．

Answer 1

分析 （1）①根據已知條件易證得∠BAE=∠F，根據三角形外角的性質得出∠F+∠FEB=∠OBC=45°，即可求得∠FEB+∠BAE=45°；②在OA上截取OH=OE，連接EH，四邊形ABCD是正方形，求得∠OHE=∠OEH=45°，由∠AEF=90°，得出∠FEB+∠AEH=45°，即可求得AEH=∠F，根據∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠EAH=90°得到∠FEB=∠EAH，然后根據ASA證得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根據等腰直角三角形的性質求得$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得出OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，因為ED-EB=OD+OE-（OB-OE）=2OE，即可證得ED-EB=$\sqrt{2}$BF；
（2）在OC上截取OH=OE，連接EH，得出AH=BE，根據AC⊥BD，∠AEF=90°，得出∠EAH=∠FEB，根據SAS證得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根據等腰直角三角形的性質求得$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得出OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，因為EB-ED=2OE，即可證得EB-ED=$\sqrt{2}$BF．

解答 解：（1）①如圖a，∵∠AEF=90°，∠ABF=90°，∠1=∠2，
∴∠BAE=∠F，
∵∠F+∠FEB=∠OBC=45°
∴∠FEB+∠BAE=45°；
②在OA上截取OH=OE，連接EH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴∠OHE=∠OEH=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEH=45°，
∴∠AEH=∠F，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°，
∵∠AEO+∠EAH=90°，
∴∠FEB=∠EAH，
在△FEB和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEH}\\{EF=AE}\\{∠FEB=∠EAH}\end{array}\right.$，
∴△FEB≌△EAH（ASA），
∴BF=EH，
在等腰直角三角形EOH中，$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∵ED-EB=OD+OE-（OB-OE）=2OE，
∴ED-EB=$\sqrt{2}$BF；
（2）ED、EB、BF三條線段的數量關系為：EB-ED=$\sqrt{2}$BF，
在OC上截取OH=OE，連接EH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，
∴OA+OH=OB+OE，即AH=BE，
∵AC⊥BD，∠AEF=90°，
∴∠EAH=∠FEB，
在△FEB和△EAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=AE}\\{∠FEB=∠EAH}\\{BE=AH}\end{array}\right.$，
∴△FEB≌△EAH（SAS），
∴BF=EH，
在等腰直角三角形EOH中，$\frac{OE}{EH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∵BE-DE=2OE，
∴EB-ED=$\sqrt{2}$BF．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質，等腰直角三角形的邊角關系，三角形全等的判定和性質，三角形外角的性質，作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．