Question

【題目】如圖，拋物線與x軸的交點分別為A、B，與y軸的負半軸交于點C．已知拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），點B的坐標（3，0）．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）在該函數圖象上能否找到一點P，使PO=PC？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3；(2) 存在，P點坐標為（1+，﹣）或（1﹣，﹣）．

【解析】

（1）可設出拋物線的頂點式，再利用B點坐標可求得拋物線解析式；

（2）由PO=PC可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可知P點的縱坐標，代入拋物線解析式則可求得P點坐標．

（1）∵拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣4．

∵拋物線過點B（3，0），∴0=a（3﹣1）2﹣4，解得：a=1，∴拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）存在．

∵PO=PC，∴點P在線段OC的垂直平分線上，在y=x2﹣2x﹣3中，令x=0可得：y=﹣3，∴C（0，﹣3），∴P點縱坐標為﹣，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=﹣可得：x2﹣2x﹣3=﹣，解得：x=1±，∴P點坐標為（1+，﹣）或（1﹣，﹣）．