Question

【題目】如圖所示，將矩形紙片ABCD折疊，使得頂點A與邊CD上的動點P重合（點P不與點C、D重合），MN為折痕，點M、N分別在邊BC、AD上，連結AM、MP、AP，其中，AP與MN相交于點F．⊙O過點M、C、P

（1）若∠AMP＝90°，求證：BM＝CP；

（2）隨著點P的運動，若⊙O與AM相切于點M，又與AD相切于點H，且AB＝4，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】

(1)由矩形的性質得出∠B=∠C=90°,證出∠BAM=∠CMP,由折疊的性質得出AM=PM,由AAS證明△ABM≌△MPC，即可得出結論；
(2)連接HO并延長交BC于J,根據折疊的性質知：MN垂直平分AP,可得：AM=PM,AM為⊙O的切線,可得：∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°,又∠BAM+∠AMB=90°,可得：∠CMP=∠BAM,∠B=∠C=90°,可證：△ABM≌△MCP,MC=AB,BM=CP,由AD為⊙O的切線,可得：OJ⊥AD,故：JH∥CP,△MOJ∽△MPC,設PD的長為x,則PC=ABx,OJ=PC，OH=ABOJ可求出⊙O的半徑，在Rt△MCP中，運用勾股定理可將PD的長求出，即可得出CP的長.

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAM+∠AMB＝90°，

∵∠AMP＝90°，

∴∠AMB+∠CMP＝90°，

∴∠BAM＝∠CMP，

由折疊的性質得：MN垂直平分AP，

∴AM＝PM，

在△ABM和△MPC中，，

∴△ABM≌△MPC（AAS），

∴BM＝CP；

（2）解：∵AM是⊙O的切線，

∴∠AMP＝90°，

∴∠CMP+∠AMB＝90°，

∵∠BAM+∠AMB＝90°，

∴∠CMP＝∠BAM，

由折疊的性質得：MN垂直平分AP，

∴MA＝MP，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴△ABM≌△MCP，

∴MC＝AB＝4

設PD＝x，則CP＝4﹣x，

∴BM＝PC＝4﹣x，

連接HO并延長交BC于J，如圖2所示：

∵AD是⊙O的切線，

∴∠JHD＝90°，

∴HDCJ為矩形，

∴OJ∥CP，

∴△MOJ∽△MPC，

∴OJ：CP＝MO：MP＝1：2，

∴OJ＝（4﹣x），

OH＝MP＝4﹣OJ＝（4+x），

∵MC2＝MP2﹣CP2，

∴（4+x）2﹣（4﹣x）2＝16，

解得：x＝1，即PD＝1，

∴PC＝3．