Question

如圖，拋物線與x軸交于A，0兩點，將拋物線向上移動4個單位長度后得到一條新拋物線，它的頂點在x軸上，新拋物線上的D，E兩點分別是A，O兩點平移后的對應點。設兩條拋物線、線段AD和線段OE圍成的面積為S。P（m，n）是新拋物線上一個動點，切滿足

⑴求新拋物線的解析式。

⑵當m=-2時，點F的坐標為，試判斷直線DF與AE的位置關系，并說明理由。

⑶當的值最小時，求△AEP的面積與S的數量關系。

 

Answer 1

⑴⑵DF∥AE，理由見解析⑶△AEP=S

解析:⑴由題意可知，原拋物線的頂點坐標為（-2，-4），且過原點，可得，那么新拋物線的解析式為

⑵直線DF與AE的位置關系為DF∥AE。理由如下：當m=-2時，P（-2,0），把點P（-2,0）帶入可得=4，所以點F（-8,0），又有點A(-4,0),D(-4,4),E(0,4)，可證△ADF和△OEA全等，所以∠AFD=∠OAE，所以DF∥AE。

⑶連結DE，則新拋物線與DE圍成的圖形的面積等于原拋物線與AO圍成的圖形的面積，所以

S=S_{正方形AOED}=4×4=16.因為點P（m，n）是新拋物線上的一點，所以，又因為P的坐標滿足，

所以=。

當m=1時，取得最小值-5，此時n=9，即點P的坐標為（1，9）。

所以△AEP=8，所以△AEP=S。

⑴由題意可知，原拋物線的頂點坐標為（-2，-4） ，可求出原拋物線的解析式，從而求得新拋物線的解析式

⑵通過△ADF和△OEA全等，可得∠AFD=∠OAE，從而得出結論

⑶連結DE，則新拋物線與DE圍成的圖形的面積等于原拋物線與AO圍成的圖形的面積，求得，得出結論