Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點E在斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC邊相切于點D，連接AD．
（1）求證：AD是∠BAC的平分線；
（2）若AC=3，tanB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∴OD=OA，
∴∠1=∠2，
∵BC為⊙O的切線，
∴∠ODB=90°，（1分）
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，（2分）
∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分線．（3分）

（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=3，
∴BC=4，AB=5，（4分）
在Rt△ODB中，tanB=，
設一份為x，則OD=OA=3x，則BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=5，
解得x=，
∴半徑OA=．（5分）
分析：（1）連接OD．根據圓的半徑都相等的性質及等邊對等角的性質知：∠1=∠2；再由切線的性質及平行線的判定與性質證明∠1=∠3；最后由角平分線的性質證明結論；
（2）在Rt△ABC中，由“tanB=，AC=3”求得BC=4，AB=5；然后在Rt△ODB中，利用∠B的正切值求得；設一份為x，則OD=OA=3x，則BD=4x，OB=5x．列出關于x的方程，解方程即可．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．