Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線l₁經過點O和點A，將直線l₁繞點O逆時針旋轉90°，再向上平移2個單位長度得到直線l₂．
（1）寫出直線l₁繞點O逆時針旋轉90°后點A的對應點A′的坐標；
（2）求直線l₁與l₂的解析式；
（3）若點P在x軸上，且滿足△PAA′是等腰三角形，請你在圖中用尺規作圖法作出所有滿足條件的點P的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

分析：注意到圖中直線過點O和點A，繞原點逆時針轉90°畫出相應的圖形，很容易得出點A′的坐標；由兩個點的坐標進一步求解析式；
P在x軸上，且滿足△PAA'是等腰三角形，有PA=PA′、PA=AA′、PA′=AA′三種情況．

解答：解：（1）由圖象可知：點A的坐標是（2，4），A′的坐標是（-4，2）．

（2）設直線l₁的解析式是y=k₁x
得2k₁=4即k₁=2
∴直線l₁的解析式是y=2x
設直線l₁繞點O逆時針旋轉90°后的直線解析式是y=k₂x
把點A′（-4，2）代入y=k₂x，得-4k₂=2，解得k2=-

1

2

即y=-

1

2

x
∴直線l₂的解析式是y=-

1

2

x+2
說明：可用其他方法求直線l₂的解析式．

（3）滿足條件的點P有三種情形′
，
PA=PA′時作AA′的垂直平分線，交x軸于點P
PA=AA′以A為圓心AA'為半徑作圓，與x軸交于點P
PA′=AA′以A′為圓心AA'為半徑作圓，交x軸于點P
如圖所示P點為滿足條件的位置．

點評：線的旋轉可以轉換為點的旋轉，找到對應的點即可求出解．做題時要注意到有多種情況滿足要求，考慮要周到，注重培養嚴謹的態度．