Question

在數學活動課中，小輝將邊長為和3的兩個正方形放置在直線l上，如圖1，他連結AD、CF，經測量發現AD=CF．
（1）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉一定的角度，如圖2，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；
（2）他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉，使點E旋轉至直線l上，如圖3，請你求出CF的長．

Answer 1

解：（1）AD=CF．
理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；

（2）與（1）同理求出CF=AD，
如圖，連接DF交OE于G，則DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的邊長為，
∴OE=×=2，
∴DG=OG=OE=×2=1，
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，AD===，
∴CF=AD=．
分析：（1）根據正方形的性質可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據正方形的對角線互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計算即可求出AD．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，對角線相等且互相垂直平分是解題的關鍵，（2）作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．