Question

【題目】如圖，已知為銳角內部一點，過點作于點，于點，以為直徑作，交直線于點，連接，交于點.

（1）求證：.

（2）連接，當，時，在點的整個運動過程中.

①若，求的長.

②若為等腰三角形，求所有滿足條件的的長.

（3）連接，交于點，當，時，記的面積為，的面積為，請寫出的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②2，3或；(3)見解析；

【解析】

（1）根據垂直的定義得出∠ABP=∠ACP=90°，根據四邊形的內角和得出∠BAC+∠BPC=180°，根據平角的定義得出∠BPD+∠BPC=180°，再根據同角的余角相等即可證明結論；

（2）①根據等腰直角三角形的性質得出BP=AB=2，根據等角的同名三角函數值相等及正切函數的定義得出BP=PD，從而得出PD的長；

②當BD=BE時，∠BED=∠BDE，故∠BPD=∠BPE=∠BAC，根據等角的同名三角函數值相等得出tan∠BPE=2，根據正切函數的定義，由AB=2得出BP=，根據勾股定理即可求出BD；

當BE=DE時，∠EBD=∠EDB，由∠APB=∠BDE，∠DBE=∠APC，得出∠APB=∠APC，則AC=AB=2，過點B作BG⊥AC于點G，得四邊BGCD是矩形，根據正切函數的定義得出AG=2，進而可求出BD；

當BD=DE時，∠DEB=∠DBE=∠APC，由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC，設PD=x，則BD=2x，根據正切函數的定義列出關于x的方程，求解得出x的值，進而由BD=2x得出答案；

（3），過點O作OH上DC于點H，根據tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP，令BD=DP=2a，PC=2b得OH=a，CH=a+2b．AC=4a+2b，證△ACP∽△CHO得，據此得出a＝b及CP＝2a、CH＝3a、OC＝a，再根據△CPF∽△COH，

得，據此求得CF＝，OF＝，證OF為△PBE的中位線知EF＝PF，從而依據可得答案．

（1）解：

∵，

∴

∴

∵

∴

（2）解：①如圖1，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

②如圖2，當時，∴

∴

∵，∴

在中，，設，則，∴，解得

∴

當時，

∵

∴

∴

過點作于點，得四邊形是矩形

∵，

∴

∴

當時，

∵

∴

設，則

∴，∴

∴，∴

綜上所述，當為2，3或時，為等腰三角形.

（3）如圖3，過點O作OH⊥DC于點H，

∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，

∴BD＝PD，

設BD＝PD＝2a、PC＝2b，

則OH＝a、CH＝a＋2b、AC＝4a＋2b，

∵OC∥BE且∠BEP＝90°，

∴∠PFC＝90°，

∴∠PAC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°，

∴∠OCH＝∠PAC，

∴△ACP∽△CHO，

∴，即OHAC＝CHPC，

∴a（4a＋2b）＝2b（a＋2b），

∴a＝b，

即CP＝2a、CH＝3a，

則OC＝a，

∵△CPF∽△COH，

∴，即，

則CF＝，OF＝OCCF＝，

∵BE∥OC且BO＝PO，

∴OF為△PBE的中位線，

∴EF＝PF，

∴