Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E是對角線BD上的一點，連結AE，過點E作EF垂直AE交BC于點F，連結AF，交對角線BD于G．若三角形AED與四邊形DEFC的面積之比為3：8，則cos∠GEF＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，則四邊形EMCH是矩形，得出EM=CH，CM=EH，由正方形的性質得出BC=CD=3，∠ABC=90°，AB=CB，∠ABE=∠CBE=∠BDC=45°，證明△ABE≌△CBE得出EA=EF，∠BAE=∠BCE，同理：△ADE≌△CDE，得出△ADE的面積=△CDE的面積，由已知得出△CDE：△CEF的面積=3：5，證明A、B、F、E四點共圓，由圓周角定理得出∠GEF=∠BAF，∠EFC=∠BAE=∠BCE，得出EF=EC，由等腰三角形的性質得出FM=CM=EH=DH，設FM=CM=EH=DH=x，則FC=2x，EM=HC=3-x，由△CDE：△CEF的面積=3：5得出方程，解得：x=，得出FC=1，BF=BC-FC=2，由勾股定理求出AF＝，即可得出結果．

解：連接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如圖所示：

則四邊形EMCH是矩形，

∴EM＝CH，CM＝EH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，

在△ABE和△CBE中，，

∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，

同理：△ADE≌△CDE，

∴△ADE的面積＝△CDE的面積，

∵△AED與四邊形DEFC的面積之比為3：8，

∴△CDE：△CEF的面積＝3：5，

∵EF⊥AE，

∴∠AEF＝90°，

∴∠ABC+∠AEF＝180°，

∴A、B、F、E四點共圓，

∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，

∴EF＝EC，

∵EM⊥BC，

∴FM＝CM＝EH＝DH，

設FM＝CM＝EH＝DH＝x，則FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，

∵△CDE：△CEF的面積＝3：5，

∴，

解得：x＝，

∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，

∴AF＝，

∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；

故答案為：．