Question

我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．

（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；

（2）如圖，在中，點分別在上，

設相交于點，若，．

請你寫出圖中一個與相等的角，并猜想圖中哪個四邊形

是等對邊四邊形；

（3）在中，如果是不等于的銳角，點分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）如平行四邊形、等腰梯形等

（2）答：與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）。

四邊形DBCE是等對邊四邊形。

（3）答：此時存在等對邊四邊形，是四邊形DBCE。

證法一：如圖1，作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點。

因為，BC為公共邊，

所以。

所以BF=CG。

因為∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，

∠BEC=∠ABE+∠A，

所以∠BDF=∠BEC。

可證。

所以BD=CE。

所以四邊形DBCE是等對邊四邊形。

證法二：如圖2，以C為頂點作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F點。

因為，BC為公共邊，

所以。

所以BD=CF，∠BDC=∠CFB。

所以∠ADC=∠CFE。

因為∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，

∠FEC=∠A+∠ABE，

所以∠ADC=∠FEC。

所以∠FEC=∠CFE。

所以CF=CE。

所以BD=CE。

所以四邊形DBCE是等對邊四邊形。