Question

【題目】探索與計算：

在△ABC中，BE⊥AC于點E，CD⊥AB于點D，連接DE．

（1）如圖1，若∠A=45°，AB=AC，BC=4，求DE的長．

（2）如圖2，若∠A=60°，AB與AC不相等，BC=4，求DE的長．

猜想與證明：

（3）根據（1）（2）所求出的結果，猜想DE、BC以及∠A之間的數量關系，并證明．

拓展與應用：

（4）如圖3，在△ABC中，AB=BC=5，AC=2，BE⊥AC于點E，CD⊥AB于點D，AF⊥BC于點F，求△DEF的周長．

Answer 1

【答案】(1) DE=2；(2) DE =2；(3) DE=BCcosA,證明見解析;(4) △DEF的周長=.

【解析】試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得到AE=BE=AB，根據相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質計算；

（2）根據直角三角形的性質得到AE=AB，AD=AC，根據相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根據相似三角形的性質計算；

（3）根據余弦的概念、相似三角形的判定和性質解答；

（4）根據（3）的結論、三角形的面積公式、勾股定理計算即可．

試題解析：

（1）∵BE⊥AC，∠A=45°，

∴AE=BE=AB，

同理，AD=CD=AC，

∵AB=AC，

∴AE=AD，

∴=，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴==，

∴DE=2；

（2）∵BE⊥AC，∠A=60°，

∴AE=AB，

同理，AD=AC，

∴=，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，

∴DE=BC=2；

（3）猜想：DE=BCcosA．

證明：∵BE⊥AC，

∴cosA=，

∴AE=ABcosA，

同理，AD=ACcosA，

∴∴△ADE∽△ACB，

∴=cosA，

∴DE=BCcosA；

（4）∵AB=BC=5，AC=2，BE⊥AC，

∴AE=EC=，

由勾股定理得，BE==2，

∵BC×AF=AC×BE，

∴AF=4，

由勾股定理得，BF=3，

∴cos∠ABC==，cos∠ACB=cos∠BAC=，

∴EF=DE=ABcos∠ACB=，DF=ACcos∠ABC=，

∴△DEF的周長=DE+EF+DF=．