Question

已知拋物線的解析式為y=-x²+2mx+4-m²．
（1）求證：不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點，且兩交點A、B之間的距離為定值；
（2）設點P為此拋物線上一點，若△PAB的面積為8，求符合條件的所有點P的坐標（可用含m的代數式表示）
（3）若（2）中△PAB的面積為s（s＞0），試根據面積s值的變化情況，確定符合條件的點P的個數．

Answer 1

（1）∵△=（2m）²-4×（-1）（4-m²）=16＞0，
∴不論m取何值，此拋物線與x軸必有兩個交點．
設A（x₁，0），B（x₂，0），
則|x1-x2|=|

-b+ b2-4ac

2a

-

-b- b2-4ac

2a

|=|

b2-4ac

a

|
=|

(2m)2-4×(-1)(4-m2)

-1

|=4；

（2）設P（a，b），則由題意b=-a²+2am+4-m²，且|

1

2

×4×b|=8，
解得b=±4．
當b=4時得：a=m．
即P（m，4）；
當b=-4時得：a=m±2

2

．即P(m+2

2

，-4)或P（m-2

2

，-4）；

（3）由（2）知當s=8時，符合條件的點P有2個，
知當0＜s＜8時，符合條件的點P有4個，
當知當s＞8時，符合條件的點P有2個．