Question

【題目】如圖1 ，一次函數 (k,b為常數，k≠0)的圖象與反比例函數（m為常數，m≠0）的圖象相交于點M(1，4)和點N（4，n）．

(1)填空：①反比例函數的解析式是　　　　　； ②根據圖象寫出時自變量x的取值范圍是　　　　　　；

(2) 若將直線MN向下平移a(a>0)個單位長度后與反比例函數的圖象有且只有一個公共點，求a的值；

(3) 如圖2，函數的圖象（x＞0）上有一個動點C，若先將直線MN平移使它過點C，再繞點C旋轉得到直線PQ，PQ交軸于點A，交軸點B，若BC=2CA， 求OA·OB的值.

Answer 1

【答案】(1) ① y＝.②；(2) a＝1或a＝9.；(3) 18或2..

【解析】整體分析：

(1)由點A的坐標求反比例函數的解析式，得到點B的坐標； ，即是一次函數的圖象在反比例函數圖象的下方時自變量的范圍；(2)由點M，N的坐標求直線MN的解析式，直線MN向下平移a(a>0)個單位長度后與反比例函數的圖象有且只有一個公共點，即是方程kx+b-a=的判別式等于0；(3)設點C(a,b)，根據BC=2CA，分三種情況討論，利用△ACH∽△ABO，結合ab=4求解.

解：(1)k=1×4=4，所以y=.

②當y=4時，x=，則B(4，1).

根據圖象得： .

(2)點M(1，4)和點N(4，1)分別代入得

直線AB向下平移a個單位長度后的解析式為y＝－x＋5－a，

把y＝代入消去y，整理，得x2－(5－a)x＋4＝0.

∵平移后的直線與反比例函數的圖象有且只有一個公共點，

∴Δ＝(5－a)2－16＝0.

解得a＝1或a＝9.

(3)設點C(a,b)，則ab=4如圖1，過C點作CH⊥OA于點H.

①當點B在y軸的負半軸時，如圖1

∵BC=2CA，∴AB=CA.

∵∠AOB=∠AHC=90°，∠1=∠2，

∴△ACH∽△ABO.

∴OB=CH=b,OA=AH=0.5a

∴.

②當點B在y軸的正半軸時，

如圖2，當點A在x軸的正半軸時，

∵BC=2CA，∴.

∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO.

∴

∴.OB=3b,OA=1.5a

∴.

如圖3，當點A在x軸的負半軸時，BC=2CA不可能.

綜上所述，OA·OB的值為18或2.