【題目】如圖1,點I是△ABC的內心,AI的延長線交△ABC的外接圓⊙O于點D.
(1)求證:DB=DC=DI;
(2)若AB是⊙O的直徑,OI⊥AD,求tan的值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)要證明ID=BD=DC,只要求得∠BID=∠IBD,再根據角平分線的性質即可得到結論;
(2)由AB是⊙O的直徑,得到BD⊥AD,由于OI⊥AD,得到OI∥BD,于是求得AD=2BD,BD=2OI,設OI=x,則BD=AI=2x,AD=4x,得到AB= ,如圖2,過O作OE⊥BD交⊙O于E,連接AE交OI于F,則OE∥AI,得到比例式代入求得IF=
,即可得到結果.
試題解析:(1)證明:∵點I是△ABC的內心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,
∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BAD=∠CBD,
∴∠BID=∠ABI+∠BAD,
∴∠ABI=∠CBI,∠BAD=∠CAD=∠CBD,
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD,
∴∠BID=∠IBD,
∴ID=BD,
∵∠BAD=∠CAD,
∴,
∴CD=BD,
∴DB=DC=DI;
(2)∵AB是⊙O的直徑,
∴BD⊥AD,OI⊥AD,
∴OI∥BD,
∵OA=OB,
∴AI=DI,
由(1)知ID=BD,
∴AD=2BD,BD=2OI,
設OI=x,則BD=AI=2x,AD=4x,
∴AB= ,
如圖2,過O作OE⊥BD交⊙O于E,連接AE交OI于F,則OE∥AI,
∴,
即 ,
∴IF= ,
∵OE⊥BD,
∴,
∴∠DAE=∠BAD=
∠CAD,
∴tan∠DAE= tan=
.
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【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線于對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數.
(3)如圖2,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線:
與拋物線
相交于點A(
,7).
(1)求m,n的值;
(2)過點A作AB∥x軸交拋物線于點B,設拋物線與x軸交于點C、D(點C在點D的左側),求△BCD的面積;
(3)點E(t,0)為x軸上一個動點,過點E作平行于y軸的直線與直線和拋物線分別交于點P、Q.當點P在點Q上方時,求線段PQ的最大值.
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【題目】在平面直角坐標系中,△ABC 的位置如圖所示:(每個小方格都是邊長為 1 個單位長度的正方形)
(1)將△ABC 沿 y 軸方向向下平移 4 個單位長度得到 則點
坐標為_______;
(2)將△ABC 繞著點 O 逆時針旋轉 90°,畫出旋轉后得到的;
(3)直接寫出點,
的坐標.
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【題目】在四邊形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P、Q分別從A、C同時出發,P以1cm/s的速度由A向D運動,Q以2cm/s的速度由C出發向B運動,幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形?
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