Question

【題目】如圖，是的直徑，是上的一點，過點作于點，交于點，且=．

求證：是的切線；

若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，由=，根據圓周角定理得∠1=∠2，而∠1=∠OCA，則∠2=∠OCA，則可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；

（2）連接BE交OC于F，由AB是⊙O的直徑得∠ACB=90°．在Rt△ACB中，根據正切的定義得AC=4，再利用勾股定理計算出AB=5，然后證明Rt△ABC∽Rt△ACD，利用相似比先計算出AD=，再計算出CD=；根據垂徑定理的推論由=得OC⊥BE，BF=EF，于是可判斷四邊形DEFC為矩形，所以EF=CD=，則BE=2EF=，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理計算出AE=，再利用DE=AD﹣AE求解．

（1）連接OC，如圖，∵=，∴∠1=∠2．

∵OC=OA，∴∠1=∠OCA，∴∠2=∠OCA，∴OC∥AD．

∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；

（2）連接BE交OC于F，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．在Rt△ACB中，tan∠CAB==，而BC=3，∴AC=4，∴AB==5．

∵∠1=∠2，∴Rt△ABC∽Rt△ACD，∴==，即=，解得：AD=

∵=，即=，解得：CD=

=，∴OC⊥BE，BF=EF，∴四邊形DEFC為矩形，∴EF=CD=，∴BE=2EF=．

∵AB為直徑，∴∠BEA=90°．在Rt△ABE中，AE===，∴DE=AD﹣AE=﹣=．