Question

如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，PE與圓O相切于D點，連AD，BD．
（1）判斷∠PDA與∠PBD是否相等？并說明理由；
（2）如果PD=

3

，∠B=30°，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）∠PDA與∠PBD相等，理由為：連接OD，由PE為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于PE，得到一對角互余，再由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到一對角互余，根據OD=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換及利用同角的余角相等即可得證；
（2）根據（1）得到∠PDA=∠B=30°，可得出∠ADO為60°，由OD=OA得到三角形AOD為等邊三角形，得到∠P為30°，在直角三角形OPD中，設OD=x，則有OP=2x，再由PD的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出圓的半徑．

解答：解：（1）∠PDA=∠PBD，理由為：
連接OD，
∵PE與圓相切，
∴∠ODP=90°，
∴∠ADO+∠PDA=90°，
∵OB=OD，
∴∠PBD=∠ODB，
∵AB為圓的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODB+∠ADO=90°，即∠ADO+∠PBD=90°，
∴∠PDA=∠PBD；

（2）∵∠PDA=∠B=30°，
∴∠ADO=60°，又OD=OA，
∴△ADO為等邊三角形，
在Rt△OPD中，∠P=30°，
設OD=x，則有OP=2x，由PD=

3

，
根據勾股定理得：（2x）²=x²+（

3

）²，
解得：x=1，
則圓的半徑為1．

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．