Question

【題目】如圖，在等邊△BCD中，DF⊥BC于點F，點A為直線DF上一動點，以B為旋轉中心，把BA順時針方向旋轉60°至BE，連接EC．

（1）當點A在線段DF的延長線上時，

①求證：DA=CE；

②判斷∠DEC和∠EDC的數量關系，并說明理由；

（2）當∠DEC=45°時，連接AC，求∠BAC的度數．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②∠DEC+∠EDC=90°；（2）150°或30°

【解析】試題分析： ①證明△BAD≌△BEC，即可證明.

②分別求出和的度數，即可求出∠DEC和∠EDC的數量關系.

分三種情況進行討論.

試題解析：

（1）①證明：∵把BA順時針方向旋轉60°至BE，

∴60°，

在等邊△BCD中，

，

，

，

，

∴△BAD≌△BEC，

∴DA=CE；

②判斷：∠DEC+∠EDC=90°．

， ， ，

∵△BAD≌△BEC，

∴∠BCE=∠BDA=30°，

在等邊△BCD中，∠BCD=60°，

∴∠DCE=∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC=90°．

（2）分三種情況考慮：

①當點A在線段DF的延長線上時（如圖1），

由（1）可得， 是直角三角形， ，

當時，

，

， ，

由（1）得DA=CE，∴CD=DA，在等邊中， ，

，

， ，

，

在中， ， ，

在中， ， ，

．

②當點A在線段DF上時（如圖2），

以B為旋轉中心，把BA順時針旋轉至BE.

，

在等邊中， ，

，

，

，

≌，

，

在 ，

＜，

∵DA＜DF，DA=CE，

∴CE＜DC，

由②可知為直角三角形，

∴∠DEC≠45°．

③當點A在線段FD的延長線上時（如圖3），

同第②種情況可得≌，

，

在等邊中， ，

，

，

，

，

，

當時，

，

，

，

∴AD=CD=BD，

∵，

， ，

，

綜上所述， 的度數是或