Question

已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．
（1）①折疊后的所在圓的圓心為O′時，求O′A的長度；
②如圖2，當折疊后的經過圓心為O時，求的長度；
③如圖3，當弦AB=2時，求圓心O到弦AB的距離；
（2）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．
①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O到弦AB．CD的距離之和為d，求d的值；
②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點，試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

（1）①2，② ，③（2）①2，②平行四邊形，證明見解析

解：（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，
∴O′A=OA=2；
②當經過圓O時，折疊后的所在圓O′在⊙O上，如圖2所示，連接O′A．OA．O′B，OB，OO′

∵△OO′A△OO′B為等邊三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴==；
③如圖3所示，連接OA，OB，

∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB為等邊三角形，過點O作OE⊥AB于點E，
∴OE=OA•sin60°=．
（2）①如圖4，當折疊后的與所在圓外切于點P時，
過點O作EF⊥AB交AB于點H、交于點E，交CD于點G、交于點F，
即點E、H、P、O、G、F在直徑EF上，

∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，
根據垂徑定理及折疊，可知PH=PE，PG=PF，
又∵EF=4，
∴點O到AB．CD的距離之和d為：
d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，
②如圖5，當與不平行時，
四邊形是平行四邊形．
證明如下：
設O′O″為和所在圓的圓心，
∵點O′與點O關于AB對稱，點O″于點O關于CD對稱，
∴點M為的OO′中點，點N為OO″的中點
∵折疊后的與所在圓外切，
∴連心線O′O″必過切點P，
∵折疊后的與所在圓與⊙O是等圓，
∴O′P=O″P=2，∴PM=OO″=ON，PM=ON，
∴四邊形OMPN是平行四邊形．

（1）①折疊后的所在圓O′與⊙O是等圓，可得O′A的長度；
②如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據弧長公式計算即可；
③如圖3，連接O′A．O′B，過點O′作O′E⊥AB于點E，可得△AO′B為等邊三角形，根據三角函數的知識可求折疊后求所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（2）①如圖4，與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交于于點E，交于點F，根據垂徑定理及折疊，可求點O到AB．CD的距離之和；
②根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得證．