Question

【題目】拋物線y＝x2+bx+c與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C．

（1）如圖1，若OB＝2OA＝2OC

①求拋物線的解析式；

②若M是第一象限拋物線上一點，若cos∠MAC＝，求M點坐標．

（2）如圖2，直線EF∥x軸與拋物線相交于E、F兩點，P為EF下方拋物線上一點，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，則EF所在直線的縱坐標是否為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2-x-；②M坐標為(,)；（2）EF所在直線的縱坐標是定值，理由見解析.

【解析】

(1)①由x=0得到點C坐標為(0，c)，故可以用c表示OA、OB進而表示點A、B坐標，把含c的坐標代入拋物線解析式即求得b、c的值；

②過點M作MD⊥AC于點D，得出cos∠MAC=,進而MD=4AD．在MD、AD下方構造等腰直角△MDH和△ADG，則相似比為4．設AD=DG=t，用t表示DH和MH，進而用t表示點M坐標，代入拋物線解析式即求得t的值；

(2) 由點P(m，-2)在拋物線上得c+2=-m2-bm．設點E、F縱坐標為n，代入拋物線解析式根據韋達定理得xE+xF=-b，xExF=c-n．過點P作PQ⊥EF于點Q，易證△EPQ∽△PFQ，進而得PQ2=EQFQ，用含n、m、xE、xF的式子表示PQ、EQ、FQ解得n=-1，故點E、F縱坐標為定值．

解：（1）①∵x＝0時，y＝x2+bx+c＝c

∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）

∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c

∴A（c，0），B（﹣2c，0）

∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A、B

∴解得：

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣.

②過點M作MD⊥AC于點D，過點D作GH∥x軸，過點A作AG⊥GH于點G，過點M作MH⊥GH于點H，如圖1所示：

∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°

∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝

∴AM＝AD

∴MD＝

∵c＝

∴A（，0），B（1，0），C（0，）

∴OA＝OC

∴∠OAC＝45°

∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°

∴△ADG為等腰直角三角形

∴∠ADG＝45°

∴∠MDH＝180°﹣∠ADG﹣∠ADM＝45°

∴△MDH為等腰直角三角形

設AG＝DG＝t，則AD＝t

∴MD＝4AD＝t

∴DH＝MH＝4t

∴xM＝xA+t+4t＝+5t，yM＝4t﹣t＝3t

∵點M在拋物線上

∴（+5t）2（+5t）＝3t

解得：t1＝0（舍去），t2＝

∴xM＝+＝，yM＝

∴點M坐標為（，）

故答案為：（，）.

（2）EF所在直線的縱坐標是定值，理由如下：

過點P作PQ⊥EF于點Q，如圖2所示：

∵P（m，﹣2）在拋物線上

∴m2+bm+c＝﹣2，即c+2＝﹣m2﹣bm

∵EF∥x軸且在點P上方

∴xQ＝xP＝m，設yE＝yF＝yQ＝n，n＞﹣2

∴PQ＝n﹣（﹣2）＝n+2

∵x2+bx+c＝n，整理得x2+bx+c﹣n＝0

∴xE+xF＝﹣b，xExF＝c﹣n

∴∠PQE＝∠PQF＝90°

∵∠EPF＝90°

∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPQ+∠PFQ＝90°

∴∠EPQ＝∠PFQ

∴△EPQ∽△PFQ

∴

∴PQ2＝EQFQ

∴（n+2）2＝（m﹣xE）（xF﹣m）

∴n2+4n+4＝mxF﹣m2﹣xExF+mxE

n2+4n+4＝m（xE+xF）﹣m2﹣xExF

n2+4n+4＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）

n2+4n+4＝c+2﹣c+n

解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）

∴EF所在直線的縱坐標為﹣1，是定值．