Question

20．如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且$\widehat{AB}$=60°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G，H兩點．若⊙O的半徑為6，則GE+FH的最大值為9．

Answer 1

分析 首先連接OA、OB，求出∠AOB=60°，進而判斷出△AOB為等邊三角形；然后根據⊙O的半徑為6，可得AB=OA=OB=6，再根據三角形的中位線定理，求出EF的長度；最后判斷出當弦GH是圓的直徑時，它的值最大，進而求出GE+FH的最大值是多少即可．

解答 解：連接OA、OB，
∵$\widehat{AB}$=60°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB為等邊三角形，
∵⊙O的半徑為6，
∴AB=OA=OB=6，
∵點E，F分別是AC、BC的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×6$=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵當弦GH是圓的直徑時，它的最大值為：6×2=12，
∴GE+FH的最大值為：12-3=9．
故答案為：9．

點評 此題主要考查了三角形中位線定理的應用，等邊三角形的性質和判定，圓周角定理，關鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．