Question

【題目】如圖，已 知直線交坐標軸于兩點，以線段為邊向上作正方形，過點的拋物線與直線另一個交點為．

（1）請直接寫出點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點落在x軸上時停止．設正方形落在軸下方部分的面積為，求關于滑行時間的函數關系式，并寫出相應自變量的取值范圍；

（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過的面積．

Answer 1

【答案】（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）y=-x2+x+1

（3）當0<t≤1時，S△FB′G=FB′×GB′=t=t2

當1<t≤2時，S梯形A′B′HG =t-；

2<t≤3時，S五邊形GA′B′C′H=-t2+t-

（4）15.

【解析】

（1）可先根據AB所在直線的解析式求出A，B兩點的坐標，即可得出OA、OB的長．過D作DM⊥y軸于M，則△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的長，也就能求出D的坐標，同理可求出C的坐標；
（2）可根據A、C、D三點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）要分三種情況進行討論：
①當F點在A′B′之間時，即當0<t≤1時，此時S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB′的長，即可求出B′F的長，然后根據∠GFB′的正切值求出B′G的長，即可得出關于S、t的函數關系式．
②當A′在x軸下方，但C′在x軸上方或x軸上時，即當1<t≤2時，S為梯形A′GB′H的面積，可參照①的方法求出A′G和B′H的長，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A′B′即正方形的邊長，可根據梯形的面積計算公式得出關于S、t的函數關系式．
③當D′逐漸移動到x軸的過程中，即當2<t≤3時，此時S為五邊形A′B′C′HG的面積，S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積．可據此來列關于S，t的函數關系式；
（4）CE掃過的圖形是個平行四邊形，經過關系不難發現這個平行四邊形的面積實際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過求矩形的面積來求出CE掃過的面積．

（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）設拋物線為y=ax2+bx+c，拋物線過（0，1）（3，2）（1，3），

解得

y=-x2+x+1
（3）①當點A運動到x軸上時，t=1，
當0<t≤1時，如圖1，

∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA==
∴tan∠GFB′===
∴GB′=
∴S△FB′G=FB′×GB′=t=t2

②當點C運動到x軸上時，t=2，
當1<t≤2時，如圖2，
A′B′=AB==

，
∴A′G=
∵B′H=
∴S梯形A′B′HG=（A′G+B′H）×A′B′= (+)×=t-；
③當點D運動到x軸上時，t=3，
當2<t≤3時，如圖3，
∵A′G=

∴GD′=-=，
∵S△AOF=×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴=（）2
∴S△GD′H=()2，
∴S五邊形GA′B′C′H=（）2-（)2=-t2+t-；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3，
∴S陰影=S矩形BB′C′C=S矩形AA′D′D
=AD×AA′=×3=15．