Question

如下圖，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 10，點P在矩形的邊DC上由D向C運動．沿直線AP翻折△ADP，形成如下四種情形．設DP = x，△ADP和矩形重疊部分（陰影）的面積為y．

（1）如圖丁，當點P運動到與C重合時，求重疊部分的面積y；

（2）如圖乙，當點P運動到何處時，翻折△ADP后，點D恰好落在BC邊上？這時重疊部分的面積y等于多少？

（3）閱讀材料：

已知銳角a≠45°，tan2a 是角2a 的正切值，它可以用角a 的正切值tana 來表示，即

          （a≠45°）．

根據上述閱讀材料，求出用x表示y的解析式，并指出x的取值范圍．（提示：在圖丙中可設∠DAP = a ）

Answer 1

解：（1）由題意可得 ∠DAC =∠D′AC =∠ACE，∴ AE = CE．

設 AE = CE = m，則 BE = 10－m．

在Rt△ABE中，得 m² = 8² +（10－m）²，m = 8.2．

∴ 重疊部分的面積 y =? CE ? AB =×8.2×8 = 32.8（平方單位）．

另法   過E作EO⊥AC于O，由Rt△ABC∽Rt△EOC可求得EO．

（2）由題意可得 △DAP≌△D′AP，

∴ AD′ = AD = 10，PD′ = DP = x．

在Rt△ABD′ 中，∵ AB = 8，∴ BD′ == 6，于是 CD′ = 4．

在Rt△PCD′ 中，由 x² = 4² +（8－x）²，得 x = 5．

此時 y =? AD ? DP =×10×5 = 25（平方單位）．

表明當DP = 5時，點D恰好落在BC邊上，這時y = 25．

另法   由Rt△ABD∽Rt△PCD′ 可求得DP．

（3）由（2）知，DP = 5是甲、丙兩種情形的分界點．

當0≤x≤5時，由圖甲知 y = S_△AD′P = S_△ADP =? AD ? DP = 5x．

當5＜x＜8時，如圖丙，設∠DAP = a，則 ∠AEB = 2a，∠FPC = 2a．

在Rt△ADP中，得 tana =．

根據閱讀材料，得 tan2a =．

在Rt△ABE中，有 BE = ABtan2a ==．

同理，在Rt△PCF中，有 CF =（8－x）tan2a =．

∴ △ABE的面積

   S_△ABE =? AB ? BE =×8×=．

△PCF的面積

   S_△PCF =? PC ? CF =（8－x）×=．

而直角梯形ABCP的面積為

   S_梯形ABCP =（PC + AB）×BC =（8－x + 8）×10 = 80－5x．

故重疊部分的面積 y = S_梯形ABCP－S_△ABE－S_△PCF= 80－5x－－．

經驗證，當x = 8時，y = 32.8適合上式．

綜上所述，當0≤x≤5時，y = 5x；當5＜x≤8時，y = 80－5x－－．