Question

如果正整數n有以下性質：n的八分之一是平方數，n的九分之一是立方數，它的二十五分之一是五次方數，那么n就稱為“希望數”，則最小的希望數是______．

Answer 1

設最小的希望數是n，則n能被8，9，25整除，8，9，25兩兩互質既然是最小的，就不應該有其它的因數了，
n=8^a?9^b?25^c因為n的八分之一是平方數，所以a是奇數，b和c是偶數因為n的九分之一是立方數，
所以b除以3余數是1，a和c能被3整除因為n的二十五分之一是五次方數，
所以c除以5余數是1，a和b能被5整除所以a最小是5，b最小是10，c最小是6，
所以最小的希望數是2¹⁵?3²⁰?5¹²=30233088000000．
故答案為：2¹⁵?3²⁰?5¹²．