Question

如圖，已知在平面直角坐標系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠ABC=90°，A、B在x軸上，點D在y軸上，若tan∠OAD=，B點的坐標為（5，0）．
（1）求直線AC的解析式；
（2）若點Q、P分別從點C、A同時出發，點Q沿線段CA向點A運動，點P沿線段AB向點B運動，Q點的速度為每秒個單位長度，P點的速度為每秒2個單位長度，設運動時間為t秒，△PQE的面積為S，求S與t的函數關系式（請直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過P點作PQ的垂線交直線CD于點M，在P、Q運動的過程中，是否在平面內有一點N，使四邊形QPMN為正方形？若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正切值表示出AO、DO，由勾股定理求出AD，由條件可以表示出CD，由CD=OB，求出點A、點C的坐標，由待定系數法就可以求出直線AC的解析式；
（2）先求出∠BAC的正弦值，然后根據三角形的面積公式分段進行計算就可以表示出S與t的函數關系式，而求出結論；
解答：解：（1）∵tan∠OAD=，且tan∠OAD=，
∴．
設DO=4x，AO=3x，在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD=4x．
∵AD=CD，
∴CD=5x，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠DOB=∠ODC=∠DCB=90°，
∴四邊形OBCD是矩形，
∴OB=CD=5x．
∵B（5，0），
∴OB=5，
∴5x=5，
∴x=1，
∴AO=3，DO=4，
∴A（-3，0），C（5，4）．
設直線AC的解析式為，y=kx+b，由題意得
，
解得：．
故直線AC的解析式為：．

（2）∵當x=0時，y=，
∴E（0，），
∴OE=，
∴DE=．
在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得：
CE=，AE=，
∴AC=4．
∵OA=3，OB=5，
∴AB=8，
∵BC=4，
∴tan∠BAC=，sin∠BAC=，
∴當0＜t＜時，S=-，=-t²-t；
當＜t≤4時，S=-=t²-t；
綜上所述，
∴；

（3）①如圖1，作NH⊥CD與H，MG⊥AB與G，QR⊥AB與R，
∴∠MHN=∠MGP=∠PRQ=90°，
∵四邊形QPMN為正方形，
∴MP=MN=PQ，∠NMP=∠MPQ=90°，
∴∠NMH=∠GMP=∠QPR，
∵在△MHN和△PRQ中，
，
∴△MHN≌△PRQ（AAS）．
∴NH=QR．
在△GMP和△RPQ中，

∴△GMP≌△RPQ（AAS），
∴GM=RP．GP=QR．
∵GM=OD=4cm，
∴RP=4cm．
∵，
∴AR=8-2t，
∴PR=8-2t-2t=4，
∴t=1，
∴AR=6，AP=2，
∴PO=1，
∵
∴QR=3，
∴GO=4，
∴HN=3，MH=4，．
∴H、O在同一直線上，
∴N（0，7）
②如圖2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，
∴∠NSM=∠QHP=∠PRM=90°，
∵四邊形PQNM是正方形，
∴∠QPM=∠PMN=90°，PQ=PM=MN，
∴∠HPQ=∠PMR=∠NMS，
∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，
∴NS=QH=PR，HP=MR=SM=4，
∵，
∴，
∴AH=8-2t，
∴2t-（8-2t）=4，
∴t=3，
∴AH=2，HO=1，
∴QH=SN=1，OR=4，
∴SM=OR，
∴S在y軸上，
∴N（0，5）
綜上所述，N點的坐標為：（0，7）或（0，5）
點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了特殊角的三角函數值的運用，矩形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用．