Question

2．已知一次函數y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（-2，0）、B（0，4），直線l經過點B，并且與直線AB垂直．點P在直線l上，且△ABP是等腰直角三角形．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求點P的坐標；
（3）點Q（a，b）在第二象限，且S_△QAB=S_△PAB．
①用含a的代數式表示b；
②若QA=QB，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（0，4）代入y=kx+b，根據待定系數法即可求得；
（2）作PC⊥y軸于C，證得△ABO≌△BPC，從而得出AO=BC=2，BO=PC=4，根據圖象即可求得點P的坐標；
（3）①由題意可知Q點在經過P₁點且垂直于直線l的直線上，得到點Q所在的直線平行于直線AB，設點Q所在的直線為y=2x+n，代入P₁（-4，6），求得n的值，即可求得點Q所在的直線為y=2x+14，代入Q（a，b）即可得到b=2a+14；
②由QA=QB，根據勾股定理得出（a+2）²+b²=a²+（b-4）²，進一步得到（a+2）²+（2a+14）²=a²+（2a+14-4）²，解方程即可求得a的值，從而求得Q點的坐標．

解答 解：（1）把A（-2，0），B（0，4）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
則直線AB解析式為y=2x+4；
（2）如圖1所示：作PC⊥y軸于C，

∵直線l經過點B，并且與直線AB垂直．
∴∠ABO+∠PBC=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠PBC，
∵△ABP是等腰直角三角形，
∴AB=PB，
在△ABO和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠PBC}\\{∠AOB=∠BCP}\\{AB=PB}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BPC（AAS），
∴AO=BC=2，BO=PC=4，
∴點P的坐標（-4，6）或（4，2）；
（3）①∵點Q（a，b）在第二象限，且S_△QAB=S_△PAB．
∴Q點在經過P₁點且垂直于直線l的直線上，
∴點Q所在的直線平行于直線AB，
∵直線AB解析式為y=2x+4，
∴設點Q所在的直線為y=2x+n，
∵P₁（-4，6），
∴6=2×（-4）+n，
解得n=14，
∴點Q所在的直線為y=2x+14，
∵點Q（a，b），
∴b=2a+14；A（-2，0），B（0，4）
②∵QA=QB，
∴（a+2）²+b²=a²+（b-4）²，
∵b=2a+14，
∴（a+2）²+（2a+14）²=a²+（2a+14-4）²，
整理得，10a=-50，
解得a=-5，b=4，
∴Q的坐標（-5，4）．

點評 本題是一次函數的綜合題，考查了待定系數法求一次函數的解析式，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質，兩直線平行的性質等．