Question

如圖，已知平面直角坐標系中，點A(2,m)，B(-3,n)為兩動點，其中m﹥1，連結，，作軸于點，軸于點．

1.求證：mn=6

2.當時，拋物線經過兩點且以軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數的關系式

3.在（2）的條件下，設直線交軸于點，過點作直線交拋物線于兩點，問是否存在直線，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直線對應的函數關系式；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.點坐標分別為(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，

又，易證，∴,∴,∴mn=6．

2.由（1）得，，又∴

即∴，又,∴,又∵mn=6, ∴∴m=6(),n=1

坐標為坐標為，易得拋物線解析式為．

3.直線為，且與y軸交于點，

假設存在直線交拋物線于兩點，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如圖所示，

則有PF:FQ=1:2，作軸于M點，軸于點，

在拋物線上，設坐標為，

則FM=，易證△PMF∽QNF，∴,

∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴ 

點坐標為,Q點在拋物線上，

，解得，

坐標為，坐標為，

易得直線為．

根據拋物線的對稱性可得直線的另解為．

解析:（1）根據A、B的坐標，可得OC、OD、BC、AD的長，由于OA⊥OB，可證得△BOC∽△OAD，根據相似三角形所得比例線段，即可證得所求的結論．

（2）欲求拋物線的解析式，需先求出A、B的坐標；根據（1）的相似三角形，可得3OA=mOB，用OB表示出OA，代入△OAB的面積表達式中，可得到OB²的值，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求得另外一個OB²的表達式，聯立兩式可得關于m、n的等式，結合（1）的結論即可求出m、n的值，從而確定A、B的坐標和拋物線的解析式．

（3）求直線l的解析式，需先求出P、Q的坐標，已知S_△POF：S_△QOF=1：2，由于兩三角形同底不等高，所以面積比等于高的比，即P、Q兩點橫坐標絕對值的比，可設出點P的坐標，然后根據兩者的比例關系表示出點Q的坐標，由于點Q在拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可求得點P、Q的坐標，進而可利用待定系數法求得直線l的解析式．