Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，O），B（-4，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上找一點Q，使得△QAC的周長最小，請求出Q點的坐標；
（3）設平行于y軸的直線x=m（-1-＜m＜0）與拋物線交于點M，與直線y=-x交于點N．連結BM、CM、NC、NB，問是否存在m的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（1，O），B（-4，0）兩點，
將A、B兩點坐標代入拋物線方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0
解得：b=-3，c=4
所以，該拋物線的解析式為：y=-x²-3x+4；

（2）存在
∵由前面的計算可以得到，C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=-
∴由拋物線的對稱性，點A、B關于直線x=-對稱，
∴當QC+QA最小時，△QAC的周長就最小
∴當點Q在直線BC上時QC+QA最小，
此時：直線BC的解析式為y=x+4，
當x=時，y=，
∴在該拋物線的對稱軸上存在點Q（，），使得△QAC的周長最小；

（3）由題意，M（m，-m²-3m+4），N（m，-m）
∴線段MN=-m²-3m+4-（-m）=-m²-2m+4=-（m+1）²+5
∵S_{四邊形BNCM}=S_△BMN+S_△CMN=0.5MN×BO=2MN=-2（m+1）²+10
∴當m=-1時（在-1-＜m＜0內），四邊形BNCM的面積S最大．
分析：（1）A，B的坐標代入拋物線y=-x²+bx+c確定解析式．
（2）A，B關于對稱軸對稱，BC與對稱軸的交點就是點Q．
（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，求直線上一點到直線外同旁兩點的距離之和最小的問題是通過對稱轉化為兩點之間線段最短解決．不規則幾何圖形的面積問題往往是轉化為規則幾何圖形的面積解決．