Question

函數y=x+

1

x

的圖象如圖所示，對該函數的性質的論斷：
①該函數的圖象是中心對稱圖形；
②當x＞0時，該函數在x=1時取得最小值；
③當x＞1時，y隨x的增大而減小；
④y的值不可能為-1，其中一定正確的有

①②④

．（填寫編號）

Answer 1

分析：根據關于原點對稱的兩點（a，a+

1

a

）、（-a，-a-

1

a

）都在函數y=x+

1

x

的圖象上，由此可對①進行判斷；當x＞0，利用不等式x+

1

x

≥2•x•

1

x

=2，而點（1，2）在函數圖象上，于是可對②進行判斷；觀察圖象得到當x＞1時，y隨x的增大而增大，由此可對③進行判斷；利用中心對稱的性質得到x＜0時，最大值為-2，由此得到y的最大值為-2，于是可對④進行判斷．

解答：解：當x=a，y=a+

1

a

，即點（a，a+

1

a

）函數y=x+

1

x

的圖象上；當x=-a，y=-a-

1

a

，即點（-a，-a-

1

a

）函數y=x+

1

x

的圖象上，而點（a，a+

1

a

）與點（-a，-a-

1

a

）關于原點中心對稱，則該函數的圖象是中心對稱圖形，所以①正確；
當x＞0，x+

1

x

≥2•x•

1

x

=2，即x＞0時，該函數的有最小值為1，由圖象得x=1時，y=2，所以②正確；
當x＞1時，y隨x的增大而增大，所以③錯誤；
由于該函數的圖象是關于原點中心對稱，則x＜0時，最大值為-2，所以④正確．
故答案為①②④．

點評：本考查了反比例函數的綜合題：點在反比例函數圖象上，點的坐標滿足其解析式；掌握關于原點中心對稱的圖象的性質；了解不等式a+b≥2

ab

（a、b為正數）．