Question

如圖，A，B兩個工廠位于一段直線形河的異側，A廠距離河邊AC=5km，B廠距離河邊BD=1km，經測量CD=8km，現準備在河邊某處（河寬不計）修一個污水處理廠E．
（1）設ED=x，請用x的代數式表示AE+BE的長；
（2）為了使兩廠的排污管道最短，污水廠E的位置應怎樣來確定此時需要管道多長？
（3）通過以上的解答，充分展開聯想，運用數形結合思想，請你猜想

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：（1）∵ED=x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根據勾股定理可用x表示出AE+BE的長；
（2）根據兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．過點B作BF⊥AC于F，構造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的長；
（3）根據AE+BE=

(8-x)2+25

+

x2+1

=AB=10，可猜想所求代數式的值為13．

解答：解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根據勾股定理可得AE=

(8-x)2+25

，BE=

x2+1

，
∴AE+BE=

(8-x)2+25

+

x2+1

；

（2）根據兩點之間線段最短可知連接AB與CD的交點就是污水處理廠E的位置．
過點B作BF⊥AC于F，則有BF=CD=8，BD=CF=1．∴AF=AC+CF=6．
在Rt△ABF中，BA=

AF2+BF2

=

62+82

=10，
∴此時最少需要管道10km．

（3）根據以上推理，可作出下圖：
設ED=x．AC=3，DB=2，CD=12．當A、E、B共線時求出AB的值即為原式最小值．
當A、E、B共線時

x2+4

+

(12-x)2+9

=

(3+2)2+122

=13，即其最小值為13．

點評：本題是一道生活聯系實際的題目，綜合性較強，綜合利用了勾股定理，及用數形結合的方法求代數式的值的方法，有一定的難度．