Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標；
（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上的動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．

Answer 1

解：（1）在中，令y=0，即，解得x₁=﹣4，x₂=2。
∵點A在點B的左側，∴A、B點的坐標為A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，對稱軸為x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
設△ACD中AC邊上的高為h，則有AC•h=9，解得h=。
如圖1，在坐標平面內作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是L₁和L₂，則直線與對稱軸x=﹣1的兩個交點即為所求的點D。

設L₁交y軸于E，過C作CF⊥L₁于F，則CF=h=，
∴。
設直線AC的解析式為y=kx+b，
將A（﹣4，0），B（0，3）坐標代入，得
，解得。來源:21
∴直線AC解析式為。來源:21世紀教育網]
直線L₁可以看做直線AC向下平移CE長度單位（個長度單位）而形成的，
∴直線L₁的解析式為。
則D₁的縱坐標為�！郉₁（﹣4，）。
同理，直線AC向上平移個長度單位得到L₂，可求得D₂（﹣1，）。
綜上所述，D點坐標為：D₁（﹣4，），D₂（﹣1，）。
（3）如圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過E點作⊙F的切線，這樣的切線有2條．
連接FM，過M作MN⊥x軸于點N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3。
又FE=5，則在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，
FN=MN•cos∠MFE=3×。
則ON=�！郙點坐標為（，）。
直線l過M（，），E（4，0），
設直線l的解析式為y=k₁x+b₁，則有，解得。
∴直線l的解析式為y=x+3。
同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3。
綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3。

解析