Question

正方形ABCD邊長為4，點E是邊AB上的動點（點E不與A、B重合），線段DE的垂直平分線和邊AD、BC分別交于點F、G，和DE交于點H．
（1）直接寫出∠GFD的范圍（用不等式表示，不必說明理由）；
（2）求證：FG=DE；
（3）設AE=x，四邊形AFGB的面積為y，當x為多少時，y的值最大？此時y的最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）當點E在A處時，AD與ED重合，FG垂直平分ED，就有∠GFD=90°，當點E與點B重合時，FG垂直平分ED，根據正方形的性質可以得出∠GFD=∠CAD=45°，從而可以得出結論；
（2）過點F作FN⊥BC于N，可以得出四邊形ABNF是矩形，就有FN=AB=AD，進而得出∠AED=∠BGF，再通過證明△AED≌△NGF就可以得出結論；
（3）連接EF，設AF=a，那么EF=DF=4-a，在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，即：a²+x²=（4-a）²，就可以求出a=，再根據梯形的面積公式就可以表示出y的關系式，從而可以求出結論．
解答：解：（1）當點E在A處時，AD與ED重合，FG垂直平分ED，就有∠GFD=90°，
當點E與點B重合時，ED與BD重合，FG垂直平分ED，就是FG垂直平分BD，
則∠GFD=∠CAD=45°，
∵點E不與A、B重合，
∴45°＜∠GFD＜90°；

（2）過點F作FN⊥BC于N，
則∠BNF=∠FNG=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD．
∴四邊形ABNF是矩形，
∴FN=AB=AD，
∵ED⊥FG，
∴∠EHG=90°，
∴∠EHG+∠B=180°．
∵四邊形BEHG的內角和是360°，
∴∠BED+∠BGH=180°．
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠AED=∠BGF，
∵∠A=∠FNG=90°．
∵在△AED和△NGF中，
，
∴△AED≌△NGF（AAS），
∴DE=FG，AE=NG；

（3）如圖，連接EF，設AF=a，
∴FD=4-a．
∵FG垂直平分ED，
∴EF=FD，
∴EF=4-a．
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AE²+AF²=EF²，
∴a²+x²=（4-a）²，
∴a=．
∵AF≤BG，即點N在線段BG上，且AE=x，
∴BG=BN+GN=x+，
∴y=（AF+BG）×AB=2（+x+），
=-x²+2x+8，
=-（x-2）²+10（0＜x＜4）．
∴當x=2時，y有最大值，最大值是10．
點評：本題是一道相似形的綜合試題，考查了全等三角形的判定及性質的運用，中垂線的性質的運用，梯形的面積公式的運用，二次函數的性質的運用，解答本題作輔助線證明三角形全等是關鍵．