Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，點P在AD上，過點P作PM∥AC交AB于點M，作PN∥AB交AC于點N．

（1）若點D是BC的中點，

①若AP：PD＝2：1，求AM：AB的值

②證明：；

（2）若點D是BC上任意一點，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）①過點D作DE∥PM交AB于E，由點D為BC中點與AP：PD=2：1，根據平行線分線段成比例定理，即可求得AM：AB的值；

②延長AD至點Q，使DQ=AD，連BQ、CQ，易得四邊形ABQC是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得PM∥BQ，PN∥CQ，繼而可得；

（2）過點D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根據平行線分線段成比例定理可得，繼而求得．

（1）①過點D作DE∥PM交AB于E，

∵PM∥AC，∴DE∥AC，

.

∵點D為BC中點，

∴點E是AB中點，且，

∴；

②延長AD至點Q，使DQ＝AD，連BQ、CQ，

∵DQ=AD，BD=DC，

四邊形ABQC是平行四邊形．

∴PM∥BQ，PN∥CQ，

∴，，

∴；（注：像第（1）題那樣作輔助線也可以．）

（3）過點D作DE∥PM交AB于E，

∴，

又∵PM∥AC，∴DE∥AC，

∴，

∴，

同理可得：，

∴．