Question

已知：如圖，O為坐標原點，半徑為4的⊙Q與y軸相切于點O，圓心Q在x軸的負半軸上．
（1）請直接寫出圓心Q的坐標；
（2）設一次函數y=-2mx+2m的圖象與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相交于點A、B，且T在y軸上，OT=2，連接QT，∠OQT=∠OBA．
①求m的值；
②試問在y=-2mx+2m的圖象上是否存在點P，使得⊙P與⊙Q、y軸都相切？若存在，請求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）Q（-4，0）．

（2）
①如圖1，∵∠OQT=∠OBA，∠QOT=∠BOA，
∴△QOT∽△BOA，
∴，
在y=-2mx+2m中，令x=0，則y=2m，OB=2m，
令y=0，則x=1，OA=1，
∴，解得m=1；
②由①得m=1，則直線AB的解析式為：y=-2x+2；
（i）若點P在y軸的左側時，如圖2，設⊙P的半徑為r（r＞0），
∵點P在直線上，∴點P（-r，2r+2）
連接PQ，作PH⊥y軸于點H，作PC⊥x軸于點C，則四邊形PCOH是矩形．
∴PH=CO=r，PC=2r+2，CQ=4-r，
以P為圓心，PH的長為半徑作⊙P，則⊙P與⊙Q、y軸都相切．
∵⊙P與⊙Q外切，
∴PQ=r+4，
在Rt△PQC中，由勾股定理，得：PQ²=PC²+CQ²，
∴（r+4）²=（2r+2）²+（4-r）²
整理得：r²-2r+1=0，解得：r=1，
∴點P的坐標為（-1，4），
（ii）若點P在y軸的右側時，如圖3，當點P與點A重合時，顯然符合題意．
在y=-2x+2中，令y=0，則x=1．
∴點P的坐標為（1，0）
綜上，存在符合條件的兩個點P，坐標分別為（-1，4）或（1，0）．

分析：（1）依題意易得圓心Q的坐標為（-4，0）．
（2）首先證明△QOT∽△BOA，利用線段比求出m值，
求出m值后，然后分情況討論點P在y軸的位置（點P在y軸的左側；點P在y軸的右側）．
點評：本題考查的是一次函數與圖象結合的綜合應用，同時考生要注意借助輔助線的應用，難度中上．